Эмпирические методы познания

Естественно возникает вопрос: чем. же характеризуется расположение относительно оси пары симметричных точек (А, А1, В, В1, как это можно описать с помощью уже известных геометрических терминов? Учащиеся замечают (возможно, с помощью учителя), что симметричные точки (если они различны) всегда лежат по разные стороны от оси симметрии. Предлагается соединить симметричные точки отрезком прямой. Учащиеся высказывают гипотезу, что симметричные точки отстоят на равных расстояниях от оси симметрии, т. е. что отрезки АА1 и ВВ1 делятся осью симметрии пополам. Это предположение подкрепляется с помощью измерения соответствующих отрезков. Если учащиеся не замечают перпендикулярности отрезка АА1 и ВВ1 к оси симметрии (обычно равенство углов не так быстро обнаруживается, как равенство отрезков), то берут две точки, равностоящие от оси по разные стороны от нее, но не на одном перпендикуляре к ней, и задают вопрос: будут ли эти точки симметричны относительно той же оси? Сопоставляя расположение этих точек с расположением симметричных точек, учащиеся обнаруживают, что последние лежат на одном перпендикуляре к оси симметрии. Это пока предположение, которое также подкрепляется измерением соответствующих углов.

Если соединить отрезками точки А и В и симметричные им точки А1 и В1, то при сгибании листа бумаги по линии l отрезок АВ наложится на отрезок А1В1 т. е. обнаруживается, что расстояние между двумя точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А1 и В1.

Опытным же путем обнаруживается также, что каждая из полуплоскостей с границей l "накладывается" (преобразуется, отображается) на другую.

Таким образом, с помощью наблюдения, опыта и измерений формируется представление об осевой симметрии как о преобразовании плоскости, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно оси l точка и мы получаем возможность описать осевую симметрию на уже известном учащимся геометрическом языке с помощью следующей совокупности предложений.

(П1) Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе. Любые две различные симметричные точки лежат:

(П2) по разные стороны от оси симметрии,

(П3) на одном перпендикуляре к оси и

(П4) на одинаковом расстоянии от оси.

(П5) Расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между симметричными им точками.

(П6) Каждая из полуплоскостей с границей преобразуется в другую. Полученное описание нашего опыта не является, однако, совершенным. Во-первых, все предложения П1 - П6 "обоснованы" лишь опытным путем. Во-вторых, еще не раскрыты логические связи между ними, не выяснено, какие из этих предложений могут служить посылками для вывода из них остальных предложений этой совокупности (с помощью, возможно, и некоторых других, уже известных геометрических истин).

Однако устранение этих дефектов нашего описания требует уже применения других методов, о которых речь пойдет дальше.

Приведем пример, когда опыт способствует открытию геометрического свойства и подсказывает путь его доказательства.

Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треугольника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.

Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерченного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У некоторых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у других - больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже "точно" 180° (!). Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они "совершают открытие": "Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°".

Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказывающим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник. Учитель предлагает "оторвать" два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике. Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем кажется, что обнаруженное свойство достоверно. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от прямой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°.

Другое по теме

Основные направления (тенденции) современной радиотехники проникновение идей радиотехники в медицину
Не так давно исполнилось 100 лет со дня первого в мире применения электромагнитных волн в практических целях. 6 февраля 1900 года русский физик, изобретатель радио Александр Попов, узнав о несчастье - 27 рыбаков было унесено в Балтийское море на оторванной льдине, - дал на 50-километровое расстояние радиодепешу на остр ...

Общие сведения об организации радиосвязи в авиации
Авиационное радиосвязное оборудование предназначено для обеспечения двухсторонней радиосвязи между экипажем самолета и наземными пунктами управления, между экипажами нескольких самолетов в полёте,для внутрисамолётной телефонной связи между членами экипажа, оповещения пассажироов и подачи сигнала бедствия с места приземл ...