О математической экономике как области математики и о некоторых ее связях

Постепенно мой интерес к задаче о наилучшей аппроксимации превратился в интерес к самому методу, позволяющему ее решить, - одним из них и был метод линейного программирования. Г.П.Акилов посоветовал поговорить по этому поводу с Г.Ш.Рубинштейном. Во время наших бесед Г.Ш. дополнял доклады Л.В. рассказами о близких работах других математиков, - несомненно, Г.Ш. был тогда одним из лучших знатоков линейного программирования и всего этого круга идей Л.В. -- о работах американцев (симплекс-методе) мы узнали несколько позже. Основным для нас был "метод разрешающих множителей". Он укладывался как частный случай в то, что у нас называлось симплекс-методом, но наше понимание было шире американского, -- классический симплекс-метод Данцига есть также частный случай этого, более общего, класса методов. К сожалению, как часто бывает, русская терминология не была достаточно продумана и зафиксирована и слова "симплекс-метод" допускают массу различных толкований.

Школа численных методов линейного программирования в СССР была исключительно сильной, и в этом безусловная заслуга Л.В. и двух его основных помощников первой поколения -- В.А.Залгаллера и Г.Ш.Рубинштейна, а позже И.В.Романовского и его группы, В.Л.Булавского, в Москве -- Д.Б.Юдина и Е.Г.Гольштейна и др. В последующем с развитием вычислительной и программистской техники численное решение любых задач разумной размерности стало доступным.

В) Метрика Канторовича.

Однажды весной 1957 г. Г.Ш.Рубинштейн рассказал мне, что он наконец понял, как можно использовать теорему Л.В. о задаче Монжа (теперь ее называют задачей Монжа - Канторовича), доказанную им в заметке ДАН 1942 г. - а именно, как метрику Канторовича, т.е. оптимальное значение целевого функционала в транспортной задаче, использовать для введения нормы в пространстве мер и как критерий Л.В. становится теоремой двойственности с пространством функций Липшица. По сути дела, это было важным методическим замечанием, так как сама метрика уже была описана в заметке Л.В. Но именно эта работа Л.В. и Г.Ш., появившаяся в Вестнике ЛГУ в 1958 г., в выпуске, посвященном Г.М.Фихтенгольцу, содержала общую теорию знаменитой теперь метрики, назывемой иногда метрикой Канторовича-Рубинштейна, или транспортной.

Кстати, в том же номере была опубликована и моя первая работа совместно с моим первым руководителем Г.П.Акиловым, посвященная новому определению распределений Шварца, но в которой также в качестве одного из примеров рассматривалась эта, только что появившаяся, метрика. В той же работе Л.В. и Г.Ш.-- это обычно вспоминается реже, - был дан критерий оптимальности первозок в двойственных терминах -- функций Липшица или потенциалов.

С тех пор я превратился в постоянного пропагандиста этой замечательной метрики, и убедил очень многих математиков наших и зарубежных, в приоритете Л.В. и в важности этой работы. Она переоткрывалась огромное число раз и потому имеет очень много названий (метрика Вассерштейна, Орнштейна и т.д., не знавших о работе Л.В.) а сам метод ее введения известен как спаривание (coupling), как метода фиксированных маргинальных мер и т.д. Ее применения обширны и в самой математике, и в статфизике, и в математической статистике, в эргодической теории и в других приложениях. О ней написаны книги, которые далеко не исчерпывают всех ее сторон. Весьма близки к ней метрика Леви - Прохорова - Скорохода, популярная в теории вероятностей. Возможность дальнейшего обобщения этой метрики для широкого круга задач оптимизации была понята несколько позже, этому посвящены одна моя работа в "Успехах" 1970 г. и ее развитие в статье с М.М.Рубиновым.

Одновременно я применил эту метрику в 1970 для одной из важных задач теории меры и эргодческой теории (в теории убывающих последовтельностей измеримых разбиений). Там понадобилась дикая на первый взгляд беконечная итерация этой метрики ("башня мер"). Приблизительно в то же время Д.Орнштейн переоткрыл и ввел ее в эргодичскую теорию по другому поводу (метрика Орнштейна).

Другое по теме

Нейроподобный элемент (нейрон)
На нейроподобный элемент поступает набор входных сигналов x1, x2, ..., xM (или входной вектор X), представляющий собой выходные сигналы других нейроподобных элементов. Каждый входной сигнал умножается на соответствующий вес связи w1, w2, ..., wM - аналог эффективности синапса. Вес связи является скалярной величиной, пол ...

Большой взрыв
По современным представлениям, состояние расширяющейся Вселенной в прошлом (около 13 млрд. лет назад), когда ее средняя плотность в огромное число раз превышала нынешнюю. Периодом Большого взрыва условно называют интервал времени от 0 до нескольких сот секунд. В самом начале этого периода вещество во Вселенной приобрело кол ...