О математической экономике как области математики и о некоторых ее связях

А) Связи линейного программирования с функциональным и выпуклым анализом.

Л.В. уже перед войной был признанным авторитетом во многих математических областях, в особенности как один из создателей школы в функциональном анализе. Неудивительно, что и линейное программирование в его трактовке было связано с функциональным анализом. Точно так же понимал эти задачи и фон Нейман: его основная теорема теории игр, модели экономики и экономического поведения и другие экономико-математические результаты несут явный отпечаток концепций функционального анализа и двойственности.

Мое первоначальное восприятие математической стороны оптимизационной эконометрики, так же, как и у большинства тех, кто принадлежал школе Л.В., было функционально-аналитическим. Иначе говоря, схема двойственности естественным образом рассматривалась в терминах функционального анализа. Нет сомнений, что ничего более приемлемого с концептуальной точки зрения и нет. Выпуклый анализ, сформировавшийся после 50-х гг. на базе оптимизационных задач, постепенно вобрал в себя значительную часть линейного функционального анализа, равно как и классических результатов выпуклой геометрии. Именно так я строил и свой курс теории экстремальных задач, который читал в течение 20 лет в ЛГУ (с 1973 по 1992) -- он включал в себя общие (бесконечномерные) теоремы отделимости, теорию двойственности линейных пространств и т.п.

Исторически первыми связями теории Л.В. были связи с теорией наилучшего приближения и, в частности, с работами Крейна по L-проблеме моментов. М.Г.Крейн одним из первых обратил внимание на это. Реальные последствия состояли в постепенном осознании того, что методы решения обеих задач по существу схожи. Первый метод решения этих задач восходит еще к Фурье. Позже, в 30-40-х гг. нашего столетия, были выполнены важные работы Моцкиным и украинской школой М.Г.Крейна (в частности, С.И.Зуховицким, Е.Я.Ремезом и др). Однако метод разрешающих множителей и симплекс-метод были новыми для теории наилучшего приближения. Особенно важной с принципиальной точки зрения была сама трактовка задачи чебышевского приближения как полубесконечномерной задачи линейного программирования. Бесконечномерное программирование было также предметом нескольких работ моих учеников на мат-мехе ЛГУ (М.М.Рубинов, В.Темельт) и математиков в Москве (Е.Гольштейн и др).

Теория двойственности линейных пространств с конусом дает естественный язык для задач линейного программирования в пространствах произвольной размерности. Парадоксально, что это уловил Н.Бурбаки, далекий от каких-либо приложений: в своем 5-м томе "Элементов математики", - куда как абстрактный опус!, - если внимательно приглядеться, то в упражнениях можно найти даже теорему об альтернативах для линейных неравенств и ряд фактов, близких к теоремам двойственности линейного программирования. Это и естественно. Теорема Хана-Банаха и теоремы линейной отделимости - фундаментальные теоремы классического линейного функционального анализа - есть чистейший выпуклый геометрический анализ. То же относится и к общей теории двойственности линейных пространств.

Классическая теория линейных неравенств Г.Минковского - Г.Вейля в современной форме появилась в работе Г.Вейля 30-х гг. чуть раньше работ Л.В. - эта связь особенно прозрачна. Теоремы об альтернативах, леммы Фаркаша и т.д., двойственность Фенхеля-Юнга в теории выпуклых функций и множеств - все это объединилось с теорией линейного программирования уже в 50-х гг. Однако, заслуга Л.В., по-видимому, не сразу узнавшего обо всех этих связях, в том, что он нашел единый подход, базирующийся на идеях функционального анализа и вскрывающий идейную суть вопроса. Это одновременно давало и базу для численных методов его решения. Не преувеличивая, можно сказать, что функциональный анализ стал фундаментом всей математической экономики. Огромное число задач выпуклой геометрии и анализа (от теоремы Ляпунова о выпуклости образа до выпуклости в отображении моментов) также связаны с этими идями и их обобщениями.

Другое по теме

Расчет и проектирование внутреннего водопровода
В городах и на промышленных предприятиях расходуют большое количество воды. Ее используют на хозяйственно-питьевые и производственные нужды, а также для пожаротушения. Обеспечение населения водой питьевого качества повышает уровень благоустройства городов, улучшает их санитарное состояние и предохраняет людей от эпидем ...

Закон вечности
Природа имеет всеобщий и абсолютный ритм. Этот ритм равен семи. Коль скоро это так, то тогда, описывая математически циклическую структуру периодической системы, можно вывести своеобразный мировой закон. Периодическая система химических элементов, как известно, начинается с водорода. А существует ли конечный элемент, и ...